\documentclass[12pt]{article}
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\title{%\includegraphics{LogoIUT.ps}\\
Partiel de mathématiques discrètes, semestre 2, mars 2009.\\
Durée : 2 heures.} 
\date{}
\geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
\author{J.-F. \sc{Couchot}}
\begin{document}
\maketitle




\section*{Exercices (10 pts)}

\subsection*{Exercice 1 (4 pts)}
Pour chacun des propositions suivantes, dire si c'est une tautologie, 
une antilogie ou ni l'une ni l'autre. Justifier.
\begin{enumerate}
\item 
$
\big( (\neg P \Rightarrow Q) \land 
(\neg P \Rightarrow \neg Q) \big)
\Rightarrow P$
\item 
$
P \lor Q \Rightarrow
\big(
P \land( Q \Rightarrow Q)
\big)$
\item
$
\big(
( \neg Q \land P ) \Rightarrow ( Q \lor P )
\big)
\Rightarrow
\neg ( Q \lor P \lor \neg Q )
$
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 2 (3 pts)}
Soit la base de faits suivante:
\emph{l'avion partira seulement si la piste est dégagée. 
La piste ne sera pas dégagée ou la grève sera terminée. 
La grève continue si et seulement si
 les revendications ne sont pas satisfaites.}
\begin{enumerate}
\item La proposition  
\og \emph{l'avion ne partira pas ou les revendications seront satisfaites} \fg{}
est-elle une conséquence logique des propositions qui précèdent. Justifier.
\item La proposition  
\og \emph{l'avion ne part que si les revendications sont satisfaites} \fg{}
est-elle une conséquence logique des propositions qui précèdent. Justifier.
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 3 (3 pts)}
Que dire du raisonnement suivant?
\emph{Si Jean n'a pas rencontré Pierre l'autre nuit, 
c'est que Pierre est le meurtrier ou que Jean est un menteur.
Si Pierre n'est pas le meurtrier, alors Jean n'a pas rencontré Pierre 
l'autre nuit et le crime a eu lieu après minuit.
Si le crime a eu lieu après minuit, alors Pierre est 
le meurtrier ou Jean n'est pas un menteur.
Donc Pierre est le meurtrier.}



\section*{QCM (10 pts)}
Vous aurez +1 à chaque valeur de vérité trouvée, -1 à chaque erreur (et 0 en absence de réponse). Les notes seront ajustées à l'intervalle $[0;20]$ (les notes négatives auront 0). 

Q. 1. Une formule propositionnelle $F$ est  conséquence logique d'une antilogie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
         

Q. 2. Une formule propositionnelle $F$ est conséquence logique d'une tautologie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og  On ne peut donc rien dire de $F$ \fg{}?
         

Q. 3.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	La relation $\{r\} \models p \land q  \Rightarrow r$ est-elle vraie?
         

Q. 4. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ \neg A \Rightarrow B$?
	 

Q. 5.  
\og \emph{Si la paix survient, alors il y aura une crise économique 
à moins que le pays se dote d'armes nouvelles ou bien exécute 
un large programme d'investissement intérieur dans les secteurs de
l'enseignement, de la santé et de la lutte contre la pauvreté. 
Il n'est pas possible de se mettre d'accord sur les objectifs 
que peut se donner un large programme d'investissement intérieur.
Donc si la paix survient et qu'il n'y a pas de crise économique 
le pays doit se doter d'armes nouvelles.} \fg{}
	 Le raisonnement proposé est-il correct?
         

Q. 6.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	L'énoncé suivant est-il une tautologie?
$(q \Leftrightarrow p) \Rightarrow 
(p \Rightarrow q) \land
(q \Rightarrow p)$. 	
 

Q. 7. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A $?
	 

Q. 8. \og Il est faux que sa mère est anglaise ou que son père est français \fg{}
est-elle équivalente à   
\og sa mère est anglaise ou son père n'est pas français \fg{}?
	 

Q. 9. \og $B$ est une condition nécessaire pour $A$ \fg{}
peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A$ ?
	 

Q. 10. Soit $p$ et $q$ les variables propositionnelles correspondant respectivement à \og il est grand \fg{} et \og il est beau \fg{}.
	Sachant que \og il  est petit \fg{} signifie qu'il n'est pas grand, 
\og il est grand ou il est petit et beau \fg{} peut-elle s'écrire 
$ p \lor q $?
	 

Q. 11.  Soit $p$ et $q$, deux variables propostionnelles.
	L'énoncé suivant est-il une tautologie?
$ 
(p \land ( p \lor q)) \Leftrightarrow p$. 
	 

Q. 12.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	L'énoncé suivant est-il une tautologie?
$(p \lor q) \land r \Leftarrow (p \lor r) \land (q \lor r)$. 
	 

Q. 13.  On note $A$ la proposition \og les chiens aboient \fg{} et  
$P$ la proposition \og la caravane passe \fg{}. La proposition 
\og la caravane passe sauf si le chien aboie \fg{} 
peut-elle être représentée par $ A \lor P $?
	 

Q. 14. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ \neg B \lor A $?
	 

Q. 15.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	L'énoncé suivant est-il une tautologie?
$ 
(p \Rightarrow q) \lor p \lor r \Rightarrow q \lor r$.
	 

Q. 16. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ B \lor A $?
	 

Q. 17. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
	On ne peut donc rien dire de $F$. Vrai ou faux?
         

Q. 18.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	L'ensemble $p \land q $ est-elle une  conséquence logique de $\{p,q\}$?
         

Q. 19. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og $F$ est donc une antilogie \fg{}?
         

Q. 20. Une formule propositionnelle $F$ est conséquence logique d'une tautologie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
         

Q. 21. \og $A$ à moins que  $B$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ B \Rightarrow A $?
	 

Q. 22. \og $B$ seulement si  $A$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ \neg A \Rightarrow B $?
	 

Q. 23. \og $B$ seulement si $A$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ A \Rightarrow B$ ?
	 

Q. 24. \og $B$ est une condition nécessaire pour $A$ \fg{} 
peut-elle être représentée par $ \neg B \Rightarrow \neg A$ ?
	 

Q. 25.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	La relation $\{p \Rightarrow \neg q , q \} \models \neg p$ est-elle vraie ?
         

Q. 26.  Soit $p$, $q$, $r$ trois variables propostionnelles.
	L'énoncé suivant est-il une tautologie?
$  (p \lor q) \land (p \lor r) \Rightarrow p \lor (q \land r)$. 
	 

Q. 27. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une tautologie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og  $F$ est donc une tautologie \fg{}?
         

Q. 28. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une tautologie.
	 L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og  $F$ est donc une antilogie \fg{}?
         

Q. 29.  La négation de \og ce triangle est rectangle donc ce triangle possède un angle droit \fg{} 
est-elle  \og ce triangle ne possède pas un angle droit et pourtant il est rectangle\fg{}
	 

Q. 30. Une formule propositionnelle $F$ a pour conséquence logique une antilogie.
	L'affirmation suivante est-elle vraie:
\og $F$ est donc une tautologie \fg{}?

\newpage         
\section*{Réponses au QCM}

\noindent Nom: ..........................

\noindent Prénom: ..........................


\begin{large}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c||l|c|c||l|c|c|}
\hline
Numéro & V & F & Numéro & V & F & Numéro & V & F \\ 
\hline
Q. 1 & &  & Q. 2 & &  & Q. 3 & &  \\ 
\hline
Q. 4 & &  & Q. 5 & &  & Q. 6 & &  \\ 
\hline
Q. 7 & &  & Q. 8 & &  & Q. 9 & &  \\ 
\hline
Q. 10 & &  & Q. 11 & &  & Q. 12 & &  \\ 
\hline
Q. 13 & &  & Q. 14 & &  & Q. 15 & &  \\ 
\hline
Q. 16 & &  & Q. 17 & &  & Q. 18 & &  \\ 
\hline
Q. 19 & &  & Q. 20 & &  & Q. 21 & &  \\ 
\hline
Q. 22 & &  & Q. 23 & &  & Q. 24 & &  \\ 
\hline
Q. 25 & &  & Q. 26 & &  & Q. 27 & &  \\ 
\hline
Q. 28 & &  & Q. 29 & &  & Q. 30 & &  \\ 
\hline
\hline
\end{tabular} 
\end{center} 
\end{large}

\end{document}